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发布于 2026-01-06 7 阅读
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Knowing Monads Through The Category Theory

通过范畴论认识单子

我们都知道编程基于数学，但或许不太清楚的是，掌握更多数学知识将有助于我们成为更优秀的开发者。虽然数学在所有类型的编程中都至关重要，但在函数式编程中更是如此。

最近你肯定听说过一个非常流行的概念，那就是单子（monad）。它是范畴论中的一个数学概念，后来被应用于函数式编程中。

我第一次听到“monad”这个术语是在我开始学习Scala编程的时候。在网上搜索了很久之后，我发现相关的文章要么是数学家写的，要么是面向数学家的，要么是讨论编程而非数学的文章。另一方面，人们也经常滥用这个术语，用它来指代一些并非真正意义上的monad。因此，我们将尝试在保持数学严谨性的前提下，探讨monad的本质，以及它们如何帮助我们成为更优秀的开发者。尽管monad是非常抽象和复杂的概念，但我们会尽量用简单易懂的方式来解释。

为了理解单子，我们首先必须了解两个概念：范畴和函子。

类别

我们先来看一个例子：

想象一下，我们获得了《指环王》中土世界的这样一张地图。这张地图是精灵绘制的。

我们在这张地图上看到了什么？
首先映入眼帘的是几个城镇。此外，还有连接各个城镇的道路，以及城镇之间的道路（象征着身份认同）。这些道路都是单行道。而且，正如地图所示，并非所有城镇都能到达（谁会想去魔多呢？哦，对了……霍比特人……）。另一方面，很明显，如果弗罗多想从夏尔前往孤山，他可以先经过瑞文戴尔，也可以直接前往孤山。

这是一个范畴。从数学角度来说，它包含两个组成部分：

  1. 第一组是一组集合（中土世界的城镇集合）

  2. 第二种是称为态射（连接城镇的道路）的函数/箭头。此外，我们可以复合态射（如之前的弗罗多示例所示），这种复合使得任何与恒等态射复合的态射都等于态射¹，并且复合满足结合律²。

函子：

想象一下，现在我们找到了另一张地图，这次是《权力的游戏》中七大王国的地图。

此外，我们还有城镇以及连接这些城镇的道路。也就是说，我们还有另一类情况。

看看连接各个城镇的道路。你能找到一些共同点吗？例如，有没有哪个城镇是没人想去的？当然，谁会想去弥林呢？没人！

另一个例子是，存在一个可以从所有其他城镇到达的城镇。看看中土世界的地图！
事实上，它与托尔金的作品有如此多的相似之处，以至于我们可以说，如果我们更改名称和距离，它就是同一张地图（在数学中，它被称为具有相同的结构；在现实世界中，我们说乔治·R·R·马丁“深受”托尔金作品的启发）³。

由此可见，我们应该能够改变七大王国的中土世界地图，但是……该如何改变呢？
首先我们需要考虑的是城镇的改变，具体来说：

我们最后要做的就是改造道路：

这种转变非常重要的一点是它保留了结构，包括构成：弗罗多从夏尔到孤山（可以选择经过瑞文戴尔）的旅程类似于琼恩·雪诺从长城到君临城（也可以选择经过鹰巢城）的旅程。

我们可以说，这种变换……就是一个函子！通过这种方式，我们能够变换“完全不同”的世界，这正是数学范畴论的创建目的：在截然不同的领域之间搭建桥梁。

单子：

现在我们又发现了一张中土世界的地图，但这次是由一位矮人绘制的。

当然，中土世界是一样的，所以它一定（也确实）拥有相同的人口和相同的道路。当然，有了这么多地图，迷路应该不难……

由于本质上是同一张地图，显然我们也可以构造一个函子或中土世界本身的变换，其结果也相同。这种特殊的函子被称为自函子。

但还有更多。如果一个自函子还满足它有两个自然变换，例如恒等函数和另一个结合函数，我们可以说我们有一个单子（我们称之为单子定律）⁴。

函数式编程中的 Monad

历史：

菲利普·瓦德勒是函数式编程理论和单子应用的最大贡献者，他受到尤金尼奥·莫吉的单子启发，运用单子为编程语言赋予语义。单子将序列的概念引入函数式编程范式，但由于函数的组合，并没有与函数式编程范式相矛盾。⁵

许多常见的编程概念都可以用单子结构来描述，包括副作用、I/O、异常处理……

这使得我们可以用纯函数式的方式定义这些概念，而无需向语言语义中添加新术语，也无需采用命令式编程。像 Haskell 这样的语言在标准内核中提供了 monad，而 Scala 虽然内核中没有提供 monad，但您应该熟悉Cats和Scalaz库，它们可以帮助我们使用 monad 进行开发（当然，我们也可以自己实现 monad）。

函数式编程中的函子和单子：

解释数学中的范畴论是如何运作的固然很好，但作为开发者，我们已经迫不及待地想看到它应用于函数式编程的例子了：

这张图⁶表示一个函子，在本例中，它由列表和映射组成。想必你已经将这个例子与《指环王》和《权力的游戏》中的函子联系起来了。

你可能在网上看到过，List 本身就是一个函子，就像 Scala 的 Option 类是一个单子一样。它们都是类型构造器（相当于城镇的转换器），但是……道路/箭头的转换器在哪里呢？这是一种非常常见的语言滥用，你以后应该不会再用同样的眼光看待它了。
如果在之前的图中，我们用的是 flatMap 而不是 map（flatMap 的输出属于同一类别），那么我们画的就会是一个单子（虽然我们需要验证单子定律），而不是一个函子。

在程序中使用 monad 的理由有很多，但我将列出（依我拙见）使用 monad 的三个主要原因：

  1. 归根结底，我们只想使用函数（记住：函数式编程）。

  2. 假设你有一个程序，它执行以下两个功能：

    f(x) = x+3

    g(x,y) = List(x, y)

    我们希望这两个函数按顺序执行，并且我们希望只使用函数来实现。那么，我们该如何实现呢？使用函数的组合。如果我们想先执行 g，然后对结果执行 f，我们可以按如下方式组合函数：f ∘ g (x, y)。

  3. 如果我们用g(x, y) = x / y代替之前的 g，则会遇到两个问题：

  • 如果接受 f 的类型与返回 g 的类型不同（因为 g 是除法运算，所以可能返回浮点数，而 f 接受整数），那么显然就会出现问题。

  • 如果函数 g 传入值 2 和 0 会发生什么？实际上，函数会报错，因为它不能被 0 整除。在函数式编程中，我们不希望出现异常，因为异常不是函数。

我的意思是，函数组合还需要一个要素才能达到100%的功能性（这个要素也能解决上面提到的两个问题）。显然（从帖子标题就能看出来），这个要素就是单子（monad）的使用。

其理念是允许函数返回两种类型的结果，因此 g 将不再是：g: Int, Int → Float，而是g: Int, Int → Some | None和f(x): Some | None → Some | None。

例如，我们将撤销上一个例子中的函数：

def g(x: Int, y: Int): Option[Float] = {
    y match {
        case 0 => return None
        case y => return Some(x.toFloat/y)
    }
}
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f(x) 也一样：

def f(x: Option[Float]): Option[Int] = {
    x match {
        case None => None
        case Some(x) => Some(x.asInstanceOf[Int]+3)
    }
}
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因此，我们的代码将是g(x, y).flatMap(x => f(Option(x)))。这样，我们就组合了两个函数并避免了异常，因为如果 y 等于 0，结果将为 None。

总结与结论

简而言之，我们可以说单子是一种遵循单子定律的自函子。我们还可以说，正是由于单子的存在，我们才能组合函数，解决类型问题和异常情况。

现在我们对范畴论有了一些了解，也知道了其中一些概念在函数式编程中的应用，我们可以使用程序中提供的工具来编写更好的代码。

去吧，你就可以告诉你的朋友们“我见过你们人类无法相信的事情”。

笔记

1.也就是说，如果弗罗多从夏尔前往埃瑞博（f），然后留在埃瑞博（身份），就相当于他直接前往埃瑞博。

2.也就是说，如果我们取五条路径，例如从夏尔到埃瑞博的路径（f），从瑞文戴尔到夏尔的路径（g），从魔多到瑞文戴尔的路径（h），从瑞文戴尔到埃瑞博的路径（j），以及从魔多到夏尔的路径（k）。那么，(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)，因为 f ∘ g = j 且 g ∘ h = k。

3.显然，这些地图的路径都是精心设计的，以便一切都完美契合。

4. 具有复合运算的单子定律：

  • F ∘ id = F（左恒等式）

  • Id ∘ F = F（右恒等式）

  • (F ∘ G) ∘ H = F ∘ (G ∘ H) (结合律)

5. De Euclides a Java — Ricardo Peña Mari

6. 基于尼古拉·格罗泽夫的一部作品

资源和链接

*本文最初发表于Datio 的博客，日期为 2017 年 6 月 26 日。

文章来源：https://dev.to/juaneto/knowing-monads-through-the-category-theory-1mea
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